一、问题的提出 在高中数学的教学过程中,本人发现部分学生在解含绝对值的不等式时经常出现错误,他们知道“分区间讨论法”,但绝对值内的式子取本身还是取相反数让他们晕头转向,倘若要他们用“图像法”画出函数图像解题或者利用“绝对值的几何意义”来求解就更难了.究其原因是这些学生的数学基础比较薄弱,不等式的逻辑关系稍微复杂些就容易让他们产生混乱,因此本人希望找到一个让学生更容易掌握的方法求解含绝对值的不等式.解决线性规划问题时画可行域的口诀“线定界,点定域”给了我一个灵感,为何不教学生“零点定界,特殊值定域”求解含绝对值的不等式呢? 二、问题的思考 为什么可以用“零点定界,特殊值定域”求解含绝对值的不等式呢?在必修1学函数与方程的关系时,我们得出结论：“方程f(x)=0有实数根??函数y=f(x)的图像与x轴有交点??函数y=f(x)有零点”.所以,当y=f(x)的图像是连续不断的一条曲线时,零点附近一定区域内的点具有相同的不等关系,我们就可以用特殊值试出该区域内的点所具有的不等关系. “零点定界,特殊值定域”的方法有着与“分区间讨论法”和“图像法”相通的地方,也蕴藏着分类讨论的思想,但它也有不同之处,例如这里所说的“零点”与“分区间讨论法”中的分界点不同,它是整个不等式对应函数的零点,而不是指单个绝对值式子的零点. 用“零点定界,特殊值定域”求解含绝对值的不等式的步骤可分为三步：(1)求零点;(2)代特殊值;(3)选取区域.对于数学基础薄弱的学生来说只需按步骤做题就行,可操作性强,是一种容易掌握的方法. 三、“零点定界,特殊值定域”方法的应用 (一)用“零点定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式 例1 解不等式|3x-1|≤2 解析本题属于容易题.用“零点定界,特殊值定域”求解,步骤如下： (1)求零点：求出|3x-1|=2的两根,即分别解方程 (2)代特殊值： 图1 如图,两个根将数轴分成3个区域,我们分别在各个区域找特殊值代入原不等式看是否成立,例如：在区域①处选择特殊值x=-1代入|3x-1|≤2,不成立; 在区域②处选择特殊值x=0代入|3x-1|≤2,成立; 在区域③处选择特殊值x=2代入|3x-1|≤2,不成立. (3)选取区域： 由(2)可知区域②满足要求,所以原不等式的解集为 由此可见,用“零点定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的过程虽然有些啰嗦,但并不复杂,而且它还避开了取“中间”还是“两边”的困难选择,让学生更容易求出不等式的解. (二)用“零点定界,特殊值定域”解|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式 1.不等号右边为0型 例2 (2011高考广东,理9)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是 解析(1)求零点：分别解方程(x+1)-(x-3)=0=?无解;(x+1)+(x-3)=0=?x=1;-(x+1)-(x-3)= 0=?x=1;-(x+1)+(x-3)=0=?无解 (2)代特殊值： 在区域①处选择特殊值x=0代入|x+1|-|x-3|≥0,不成立; 在区域②处选择特殊值x=2代入|x+1|-|x-3|≥0,成立. 图2 (3)选择区域： 区域②满足要求,所以原不等式的解集为[1,+∞). 2.不等号右边为非零常数型 例3 (2014高考广东.理9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为 解析(1)求零点：分别解方程(x-1)+(x+2)=5=?x=2;(x-1)-(x+2)=5=?无解;-(x-1)+(x+2)= 5=?无解;-(x-1)-(x+2)=5=?x=-3. (2)代特殊值： 图3 在区域①处选择特殊值x=-4代入|x-1|+|x+2|≥5,成立; 在区域②处选择特殊值x=0代入|x-1|+|x+2|≥5,不成立; 在区域③处选择特殊值x=3代入|x-1|+|x+2|≥5,成立. (3)选择区域： 区域① ③ 满足要求,所以原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞). 3.多重绝对值型 例4 (2016高考全国1,文24)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|,(I)略;(II)求不等式|f(x)|＞1的解集. 解析 (II)用“零点定域,特殊值定域”求不等式||x+1|-|2x-3||＞1的解集. (1)求零点：分别解方程(x+1)-(2x-3)=1=?x=3; (x+1)+(2x-3)=1=?x=1;-(x+1)-(2x-3)= (2)代特殊值： 图4 在区域①处选择特殊值x=0代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立; 在区域②处选择特殊值代入||x+1|-|2x-3||＞1,不成立; 在区域③处选择特殊值x=2代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立; 在区域④处选择特殊值x=4代入||x+1|-|2x-3||＞1,不成立; 在区域⑤处选择特殊值x=6代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立. (3)选择区域： 区域①③⑤满足要求,所以原不等式的解集为∪(1,3)∪(5,+∞). 4.不等号右边为函数型 例5 解不等式|x-1|+|2-x|＞x+3. 解析(1)求零点：分别解方程(x-1)+(2-x)=x+3=?x=-2;(x-1)-(2-x)=x+3=?x=6;-(x-1)+(2-x)=x+3=?x=0;-(x-1)-(2-x)=x+3=?x=-4. 经检验,x=-2,x=-4并不是方程|x-1|+|2-x|=x+3的解,所以舍去. (2)代特殊值： 图5 在区域①处选择特殊值x=-1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立; 在区域②处选择特殊值x=1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,不成立; 在区域③处选择特殊值x=7代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立. (3)选择区域： 区域① ③满足要求,所以原不等式的解集为(-∞,0)∪(6,+∞). 四、结束语 本文探讨了如何利用“零点定界,特殊值定域”来求解含绝对值的不等式,旨在帮助数学基础薄弱的学生求解含绝对值的不等式.“零点定界,特殊值定域”的三个步骤让学生解题时思路清晰,有(方)法可依,提高了学生分析问题、解决问题的能力,希望更多的学生利用此方法顺利解题. 一、问题的提出 在高中数学的教学过程中,本人发现部分学生在解含绝对值的不等式时经常出现错误,他们知道“分区间讨论法”,但绝对值内的式子取本身还是取相反数让他们晕头转向,倘若要他们用“图像法”画出函数图像解题或者利用“绝对值的几何意义”来求解就更难了.究其原因是这些学生的数学基础比较薄弱,不等式的逻辑关系稍微复杂些就容易让他们产生混乱,因此本人希望找到一个让学生更容易掌握的方法求解含绝对值的不等式.解决线性规划问题时画可行域的口诀“线定界,点定域”给了我一个灵感,为何不教学生“零点定界,特殊值定域”求解含绝对值的不等式呢? 二、问题的思考 为什么可以用“零点定界,特殊值定域”求解含绝对值的不等式呢?在必修1学函数与方程的关系时,我们得出结论：“方程f(x)=0有实数根??函数y=f(x)的图像与x轴有交点??函数y=f(x)有零点”.所以,当y=f(x)的图像是连续不断的一条曲线时,零点附近一定区域内的点具有相同的不等关系,我们就可以用特殊值试出该区域内的点所具有的不等关系. “零点定界,特殊值定域”的方法有着与“分区间讨论法”和“图像法”相通的地方,也蕴藏着分类讨论的思想,但它也有不同之处,例如这里所说的“零点”与“分区间讨论法”中的分界点不同,它是整个不等式对应函数的零点,而不是指单个绝对值式子的零点. 用“零点定界,特殊值定域”求解含绝对值的不等式的步骤可分为三步：(1)求零点;(2)代特殊值;(3)选取区域.对于数学基础薄弱的学生来说只需按步骤做题就行,可操作性强,是一种容易掌握的方法. 三、“零点定界,特殊值定域”方法的应用 (一)用“零点定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式 例1 解不等式|3x-1|≤2 解析本题属于容易题.用“零点定界,特殊值定域”求解,步骤如下： (1)求零点：求出|3x-1|=2的两根,即分别解方程 (2)代特殊值： 图1 如图,两个根将数轴分成3个区域,我们分别在各个区域找特殊值代入原不等式看是否成立,例如：在区域①处选择特殊值x=-1代入|3x-1|≤2,不成立; 在区域②处选择特殊值x=0代入|3x-1|≤2,成立; 在区域③处选择特殊值x=2代入|3x-1|≤2,不成立. (3)选取区域： 由(2)可知区域②满足要求,所以原不等式的解集为 由此可见,用“零点定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的过程虽然有些啰嗦,但并不复杂,而且它还避开了取“中间”还是“两边”的困难选择,让学生更容易求出不等式的解. (二)用“零点定界,特殊值定域”解|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式 1.不等号右边为0型 例2 (2011高考广东,理9)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是 解析(1)求零点：分别解方程(x+1)-(x-3)=0=?无解;(x+1)+(x-3)=0=?x=1;-(x+1)-(x-3)= 0=?x=1;-(x+1)+(x-3)=0=?无解 (2)代特殊值： 在区域①处选择特殊值x=0代入|x+1|-|x-3|≥0,不成立; 在区域②处选择特殊值x=2代入|x+1|-|x-3|≥0,成立. 图2 (3)选择区域： 区域②满足要求,所以原不等式的解集为[1,+∞). 2.不等号右边为非零常数型 例3 (2014高考广东.理9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为 解析(1)求零点：分别解方程(x-1)+(x+2)=5=?x=2;(x-1)-(x+2)=5=?无解;-(x-1)+(x+2)= 5=?无解;-(x-1)-(x+2)=5=?x=-3. (2)代特殊值： 图3 在区域①处选择特殊值x=-4代入|x-1|+|x+2|≥5,成立; 在区域②处选择特殊值x=0代入|x-1|+|x+2|≥5,不成立; 在区域③处选择特殊值x=3代入|x-1|+|x+2|≥5,成立. (3)选择区域： 区域① ③ 满足要求,所以原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞). 3.多重绝对值型 例4 (2016高考全国1,文24)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|,(I)略;(II)求不等式|f(x)|＞1的解集. 解析(II)用“零点定域,特殊值定域”求不等式||x+1|-|2x-3||＞1的解集. (1)求零点：分别解方程(x+1)-(2x-3)=1=?x=3; (x+1)+(2x-3)=1=?x=1;-(x+1)-(2x-3)= (2)代特殊值： 图4 在区域①处选择特殊值x=0代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立; 在区域②处选择特殊值代入||x+1|-|2x-3||＞1,不成立; 在区域③处选择特殊值x=2代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立; 在区域④处选择特殊值x=4代入||x+1|-|2x-3||＞1,不成立; 在区域⑤处选择特殊值x=6代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立. (3)选择区域： 区域①③⑤满足要求,所以原不等式的解集为∪(1,3)∪(5,+∞). 4.不等号右边为函数型 例5 解不等式|x-1|+|2-x|＞x+3. 解析(1)求零点：分别解方程(x-1)+(2-x)=x+3=?x=-2;(x-1)-(2-x)=x+3=?x=6;-(x-1)+(2-x)=x+3=?x=0;-(x-1)-(2-x)=x+3=?x=-4. 经检验,x=-2,x=-4并不是方程|x-1|+|2-x|=x+3的解,所以舍去. (2)代特殊值： 图5 在区域①处选择特殊值x=-1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立; 在区域②处选择特殊值x=1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,不成立; 在区域③处选择特殊值x=7代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立. (3)选择区域： 区域① ③满足要求,所以原不等式的解集为(-∞,0)∪(6,+∞). 四、结束语 本文探讨了如何利用“零点定界,特殊值定域”来求解含绝对值的不等式,旨在帮助数学基础薄弱的学生求解含绝对值的不等式.“零点定界,特殊值定域”的三个步骤让学生解题时思路清晰,有(方)法可依,提高了学生分析问题、解决问题的能力,希望更多的学生利用此方法顺利解题.

文章来源：《消防界(电子版)》 网址: http://www.xfjzz.cn/qikandaodu/2021/0708/1563.html